Контрольные работы по математическим дисциплинам
українська русский  
Авторизация
 
Логін
Пароль
Примеры задач
Высшая математика
Теория вероятностей
Матпрограммирование
Эконометрия
Теория статистики
ЭMM и М, ИО
Избранное
Готовые работы
Рейтинг задач
Задачи on-line
Справка
Цены и оплата
Другие ресурсы
Карта сайта
Контакты
Есть вопрос?
Курсы валют
 
Курсы валют на PROext     
Нахождение неопределенных и определенных интегралов
Найдено 23 решенных задач данной темы. Подробнее ...

Условие задачи
Вычислить дробно-рациональный интеграл функции:

$\int{\dfrac{2x^6-5x^5+6x^4-10x^3+8x^2-3x+15}{x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2} dx}.$

Решение

Выполним интегрирование рациональной дроби:

$ \dfrac{2x^6-5x^5+6x^4-10x^3+8x^2-3x+15}{x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2}. $

Поскольку имеем неправильную рациональную дробь, делим числитель на знаменатель:

$ \int{\left(2x-1 + \dfrac{2x^2+2x+13}{x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2}\right) dx} = x^2-x+\int{\dfrac{2x^2+2x+13}{x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2} dx}. $

Находим интеграл от правильной рациональной дроби:

$ I_0 = \int{\dfrac{2x^2+2x+13}{x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2} dx}. $

Используем метод неопределенных коэффициентов:

$ \dfrac{2x^2+2x+13}{x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2} = \dfrac{2x^2+2x+13}{(x-2)\left(x^2+1\right)^2} = \dfrac{A}{x-2}+\dfrac{Bx+C}{x^2+1}+\dfrac{Dx+E}{\left(x^2+1\right)^2}= $

$ = \dfrac{A\left(x^4+2x^2+1\right)+(Bx+C)\left(x^3-2x^2+x-2\right)+(Dx+E)\left(x-2\right)}{x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2}. $

Приравниваем числители левой и правой частей:

$ 2x^2+2x+13 = A\left(x^4+2x^2+1\right)+(Bx+C)\left(x^3-2x^2+x-2\right)+(Dx+E)\left(x-2\right); $

$ 2x^2+2x+13 = (A+B)x^4+(- 2B+C)x^3+( 2A+B - 2C+D)x^2+(- 2B+C - 2D+E)x+A - 2C - 2E. $

Приравнивая коэффициенты возле одинаковых степеней, получим систему линейных уравнений:

$ \left \{ \begin{array}{rrrrrrrrrrr} A& + & B& & & & & & = & 0,\\ & - & 2 B& + & C& & & & = & 0,\\ 2 A& + & B& - & 2 C& + & D& & = & 2,\\ & - & 2 B& + & C& - & 2 D& + & E= & 2,\\ A& & & - & 2 C& & & - & 2 E= & 13. \end{array} \right. $

Запишем расширенную матрицу системы и используем метод Жордана-Гаусса, образовав нули выше и ниже главной диагонали:

$ \ \left( \left. \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & -2 & 0 & -2 \end{array}\; \right|\; \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \\ 13 \end{array} \right)\sim $ $ \ \left( \left. \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & 0 & -2 \end{array}\; \right|\; \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \\ 13 \end{array} \right)\sim $ $ \ \left( \left. \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & 0 & -2 \end{array}\; \right|\; \begin{array}{r} 0 \\ -2 \\ 0 \\ 2 \\ 13 \end{array} \right)\sim $

$ \sim \ \left( \left. \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -5 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -2 \end{array}\; \right|\; \begin{array}{r} 2 \\ -2 \\ 4 \\ 2 \\ 11 \end{array} \right)\sim $ $ \ \left( \left. \begin{array}{rrrrr} 5 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -5 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -2 \end{array}\; \right|\; \begin{array}{r} 2 \\ 2 \\4 \\ 2 \\ 11 \end{array} \right)\sim $ $ \ \left( \left. \begin{array}{rrrrr} 5 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -5 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 1 \end{array}\; \right|\; \begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 4 \\ -11 \\ 2 \end{array} \right)\sim $

$ \sim \ \left( \left. \begin{array}{rrrrr} 5 & 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & -5 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & -5 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\; \right|\; \begin{array}{r} 13 \\ 13 \\ 26 \\ -11 \\ 4 \end{array} \right)\sim $ $ \ \left( \left. \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\; \right|\; \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) $ $ \ \left( \left. \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\; \right|\; \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ -2 \\ -3 \\ -4 \end{array} \right). $

Имеем решение системы:

$ \left \{ \ \begin{array}{rr} A \;=& 1, \\ B \;=& -1, \\ C \;=& -2, \\ D \;=& -3, \\ E \;=& -4. \\ \end{array} \right. $

Следовательно, рациональная дробь разложена на сумму простых дробей:

$ \dfrac{2x^2+2x+13}{x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2} = \dfrac{1}{x-2}+\dfrac{-x-2}{x^2+1}+\dfrac{-3x-4}{\left(x^2+1\right)^2}. $

Выполняем интегрирование:

$ \int{\dfrac{2x^2+2x+13}{x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2} dx} = \int{\left(\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{-x-2}{x^2+1}+\dfrac{-3x-4}{\left(x^2+1\right)^2}\right) dx} = $

$ =\int{\dfrac{dx}{x-2}}-\int{\dfrac{x}{x^2+1} dx}-2\int{\dfrac{dx}{x^2+1}}-3\int{\dfrac{x}{\left(x^2+1\right)^2} dx}-4\int{\dfrac{dx}{\left(x^2+1\right)^2}}=I_1-I_2-2I_3-3I_4-4I_5. $

Находим интеграл от каждого слагаемого:

$ I_1 = \int {\dfrac{dx}{x-2} = \ln\left|x-2\right|} + C_1; $

$ I_2 = \int {\dfrac{x}{x^2+1} dx = \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{d\left(x^2+1\right)}{x^2+1}} = \dfrac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|} + C_2; $

$ I_3 = \int {\dfrac{dx}{x^2+1} = \operatorname{arctg} x} + C_3; $

$ I_4 = \int{\dfrac{x}{\left(x^2+1\right)^2} dx} = \dfrac{1}{2}\int{\dfrac{d\left(x^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)^2}} = -\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{x^2+1} + C_4; $

$ I_5 = \int{\dfrac{dx}{\left(x^2+1\right)^2}}=\left[\begin{align} & x=\operatorname{tg}t, \; t=\operatorname{arctg}x, \\ & dx=\dfrac{dt}{\cos^2 t} \\ \end{align} \right]=\int{\dfrac{dt}{\cos^2 t{{\left( {{\operatorname{tg}}^2}t+1 \right)}^2}}}=\int{\dfrac{\cos^4 t}{\cos^2 t}}dt=\int{\cos^2 t}dt=\dfrac{1}{2}\int{\left(1+\cos 2t\right)}dt=$

$ =\dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{4}\sin 2t=\dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}x+\dfrac{1}{4}\sin \left( 2\operatorname{arctg}x \right)+C=\dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}x+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{x}{x^2+1}+C=\dfrac{1}{2}\left( \operatorname{arctg}x+\dfrac{x}{x^2+1}\right)+C_5. $

Получаем значение I0:

$ I_0 = \ln\left|x-2\right|-\dfrac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|-2\operatorname{arctg} x+\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{x^2+1}-2\left(\operatorname{arctg}x+\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1} \right) + C = $

$ = \ln\left|x-2\right|-\dfrac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|-4\operatorname{arctg} x+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3-4x}{x^2+1} + C. $

Ответ:

$ I = x^2-x + \ln\left|x-2\right|-\dfrac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|-4\operatorname{arctg} x+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3-4x}{x^2+1} + C. $


Найдено 23 решенных задач данной темы. Подробнее ...

Просмотров: 1779

  
  
Новые работы

01.01.17
2500
Эконометрия
КНЕУ

09.12.16
2488
Теория вероятностей и математическая статистика
ЗНТУ

23.11.16
2475
Высшая математика
УнУкр

05.10.16
2436
Теория вероятностей и математическая статистика
РДГУ

03.11.16
2433
Эконометрия
ОНЕУ

08.04.16
2393
Теория статистики
ІПКСЗ

05.03.16
2380
Высшая математика
НГА

22.02.16
2375
Математическое программирование
ОНЕУ

21.01.16
2360
Теория вероятностей и математическая статистика
АОСА

Design:
ru.AnVisionWebTemplates.com

©2005-16 MatComUA

 
Главная || Регистрация || Заказ || Рефераты || Вопросы || Отзывы || Карта || О нас UKR | RUS