Контрольні роботи з математичних дисциплін
українська русский  
Авторизація
 
Логін
Пароль
Приклади задач
Вища математика
Теорія ймовірностей
Матпрограмування
Економетрія
Теорія статистики
ЕMM і М, ДО
Вибране
Готові роботи
Рейтинг задач
Задачі on-line
Довідка
Ціни та оплата
Інші ресурси
Мапа сайту
Контакти
Є запитання?
Курси валют
 
Курсы валют на PROext     
Знаходження невизначених та визначених інтегралів
Знайдено 23 розв'язаних задач даної теми. Детальніше ...

Умова задачі
Обчислити дробово-раціональний інтеграл функції:

$\int{\dfrac{2x^6-5x^5+6x^4-10x^3+8x^2-3x+15}{x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2} dx}.$

Розв'язання

Виконаємо інтегрування раціонального дробу:

$ \dfrac{2x^6-5x^5+6x^4-10x^3+8x^2-3x+15}{x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2}. $

Оскільки маємо неправильний раціональний дріб, ділимо чисельник на знаменник:

$ \int{\left(2x-1 + \dfrac{2x^2+2x+13}{x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2}\right) dx} = x^2-x+\int{\dfrac{2x^2+2x+13}{x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2} dx}. $

Знаходимо інтеграл від правильного раціонального дробу:

$ I_0 = \int{\dfrac{2x^2+2x+13}{x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2} dx}. $

Використаємо метод невизначених коефіцієнтів:

$ \dfrac{2x^2+2x+13}{x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2} = \dfrac{2x^2+2x+13}{(x-2)\left(x^2+1\right)^2} = \dfrac{A}{x-2}+\dfrac{Bx+C}{x^2+1}+\dfrac{Dx+E}{\left(x^2+1\right)^2}= $

$ = \dfrac{A\left(x^4+2x^2+1\right)+(Bx+C)\left(x^3-2x^2+x-2\right)+(Dx+E)\left(x-2\right)}{x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2}. $

Прирівнюємо чисельники лівої та правої частин:

$ 2x^2+2x+13 = A\left(x^4+2x^2+1\right)+(Bx+C)\left(x^3-2x^2+x-2\right)+(Dx+E)\left(x-2\right); $

$ 2x^2+2x+13 = (A+B)x^4+(- 2B+C)x^3+( 2A+B - 2C+D)x^2+(- 2B+C - 2D+E)x+A - 2C - 2E. $

Прирівнявши коефіцієнти біля однакових степенів, одержимо систему лінійних рівнянь:

$ \left \{ \begin{array}{rrrrrrrrrrr} A& + & B& & & & & & = & 0,\\ & - & 2 B& + & C& & & & = & 0,\\ 2 A& + & B& - & 2 C& + & D& & = & 2,\\ & - & 2 B& + & C& - & 2 D& + & E= & 2,\\ A& & & - & 2 C& & & - & 2 E= & 13. \end{array} \right. $

Запишемо розширену матрицю системи і використаємо метод Жордана-Гаусса, утворивши нулі вище та нижче головної діагоналі:

$ \ \left( \left. \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & -2 & 0 & -2 \end{array}\; \right|\; \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \\ 13 \end{array} \right)\sim $ $ \ \left( \left. \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & 0 & -2 \end{array}\; \right|\; \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \\ 13 \end{array} \right)\sim $ $ \ \left( \left. \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & 0 & -2 \end{array}\; \right|\; \begin{array}{r} 0 \\ -2 \\ 0 \\ 2 \\ 13 \end{array} \right)\sim $

$ \sim \ \left( \left. \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -5 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -2 \end{array}\; \right|\; \begin{array}{r} 2 \\ -2 \\ 4 \\ 2 \\ 11 \end{array} \right)\sim $ $ \ \left( \left. \begin{array}{rrrrr} 5 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -5 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -2 \end{array}\; \right|\; \begin{array}{r} 2 \\ 2 \\4 \\ 2 \\ 11 \end{array} \right)\sim $ $ \ \left( \left. \begin{array}{rrrrr} 5 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -5 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 1 \end{array}\; \right|\; \begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 4 \\ -11 \\ 2 \end{array} \right)\sim $

$ \sim \ \left( \left. \begin{array}{rrrrr} 5 & 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & -5 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & -5 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\; \right|\; \begin{array}{r} 13 \\ 13 \\ 26 \\ -11 \\ 4 \end{array} \right)\sim $ $ \ \left( \left. \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\; \right|\; \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) $ $ \ \left( \left. \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\; \right|\; \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ -2 \\ -3 \\ -4 \end{array} \right). $

Маємо розв'язок системи:

$ \left \{ \ \begin{array}{rr} A \;=& 1, \\ B \;=& -1, \\ C \;=& -2, \\ D \;=& -3, \\ E \;=& -4. \\ \end{array} \right. $

Отже, раціональний дріб розкладено на суму простих дробів:

$ \dfrac{2x^2+2x+13}{x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2} = \dfrac{1}{x-2}+\dfrac{-x-2}{x^2+1}+\dfrac{-3x-4}{\left(x^2+1\right)^2}. $

Виконуємо інтегрування:

$ \int{\dfrac{2x^2+2x+13}{x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2} dx} = \int{\left(\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{-x-2}{x^2+1}+\dfrac{-3x-4}{\left(x^2+1\right)^2}\right) dx} = $

$ =\int{\dfrac{dx}{x-2}}-\int{\dfrac{x}{x^2+1} dx}-2\int{\dfrac{dx}{x^2+1}}-3\int{\dfrac{x}{\left(x^2+1\right)^2} dx}-4\int{\dfrac{dx}{\left(x^2+1\right)^2}}=I_1-I_2-2I_3-3I_4-4I_5. $

Знаходимо інтеграл від кожного доданка:

$ I_1 = \int {\dfrac{dx}{x-2} = \ln\left|x-2\right|} + C_1; $

$ I_2 = \int {\dfrac{x}{x^2+1} dx = \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{d\left(x^2+1\right)}{x^2+1}} = \dfrac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|} + C_2; $

$ I_3 = \int {\dfrac{dx}{x^2+1} = \operatorname{arctg} x} + C_3; $

$ I_4 = \int{\dfrac{x}{\left(x^2+1\right)^2} dx} = \dfrac{1}{2}\int{\dfrac{d\left(x^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)^2}} = -\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{x^2+1} + C_4; $

$ I_5 = \int{\dfrac{dx}{\left(x^2+1\right)^2}}=\left[\begin{align} & x=\operatorname{tg}t, \; t=\operatorname{arctg}x, \\ & dx=\dfrac{dt}{\cos^2 t} \\ \end{align} \right]=\int{\dfrac{dt}{\cos^2 t{{\left( {{\operatorname{tg}}^2}t+1 \right)}^2}}}=\int{\dfrac{\cos^4 t}{\cos^2 t}}dt=\int{\cos^2 t}dt=\dfrac{1}{2}\int{\left(1+\cos 2t\right)}dt=$

$ =\dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{4}\sin 2t=\dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}x+\dfrac{1}{4}\sin \left( 2\operatorname{arctg}x \right)+C=\dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}x+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{x}{x^2+1}+C=\dfrac{1}{2}\left( \operatorname{arctg}x+\dfrac{x}{x^2+1}\right)+C_5. $

Одержуємо значення I0:

$ I_0 = \ln\left|x-2\right|-\dfrac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|-2\operatorname{arctg} x+\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{x^2+1}-2\left(\operatorname{arctg}x+\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1} \right) + C = $

$ = \ln\left|x-2\right|-\dfrac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|-4\operatorname{arctg} x+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3-4x}{x^2+1} + C. $

Відповідь:

$ I = x^2-x + \ln\left|x-2\right|-\dfrac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|-4\operatorname{arctg} x+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3-4x}{x^2+1} + C. $


Знайдено 23 розв'язаних задач даної теми. Детальніше ...

Переглядів: 1898

  
  
Нові роботи

01.01.17
2500
Економетрія
КНЕУ

09.12.16
2488
Теорія ймовірностей та математична статистика
ЗНТУ

23.11.16
2475
Вища математика
УнУкр

05.10.16
2436
Теорія ймовірностей та математична статистика
РДГУ

03.11.16
2433
Економетрія
ОНЕУ

08.04.16
2393
Теорія статистики
ІПКСЗ

05.03.16
2380
Вища математика
НГА

22.02.16
2375
Математичне програмування
ОНЕУ

21.01.16
2360
Теорія ймовірностей та математична статистика
АОСА

Design:
ru.AnVisionWebTemplates.com

©2005-16 MatComUA

 
Головна || Реєстрація || Замовлення || Реферати || Запитання || Відгуки || Мапа || Про нас UKR | RUS